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數學方法分析中國抗疫模式的有效性

發布時間 : 2020-06-11 15:58 出處 : 點擊數 :

——本文刊登于2020年3月26日的《光明日報》

喬建永 校長

當前,中國本土連續多日無新增病例,疫情重災區湖北省新增確診病例也為零,我國疫情防控取得了扭轉戰局的重大進展。伴隨著春天的腳步,中國戰勝新冠病毒肺炎疫情的形式持續向好。最近,國內外互聯網上不斷有人發問:中國的抗疫模式是否可以在其他國家復制?筆者從傳染病的數學模型入手,通過分析我國抗疫策略的內在數學邏輯,闡述中國抗疫模式的科學性。歷史上,正是依靠數學對于傳染病的模型化研究,人類才對其傳播模式和嚴重危害有了更為深刻的理性認識。

1.從數學模型認識封閉管理與疫苗的重要性

數學模型,是用數學公式,運算程序,結構圖形等對實際問題本質的抽象和刻畫,是對真實世界的一種模擬。它能夠解釋客觀世界的很多現象,預測事物的發展演化規律,為控制某一現象的發生和發展提供一定意義下的優化策略。數學模型其實并不是現實問題的直接拷貝,它的建立既需要我們對現實問題深入的觀察、推理和分析,又需要我們靈活巧妙地利用各種既有的經驗和科學知識。這種應用知識從實際問題中抽象、提煉出數學模型的過程被稱為數學建模。

現代科學的發展表明,不論是用數學方法在科技、生活和生產領域解決哪類實際問題,還是它同其他學科相結合形成交叉學科,最為關鍵的一步是要建立研究對象的數學模型,并加以計算求解。信息和計算技術的快速發展為這一求解帶來了劃時代的新機遇。新冠病毒肺炎疫情發生以來,我們經常會聽到某某根據他們的模型預測了疫情終結的大概時間。這里所說的模型就是針對當前的疫情而修正、提煉、選擇的數學模型。

這個聽起來高深莫測的數學模型,原理其實并不復雜。比如,在一個固定的社區里,假設每個人接觸病人時被傳染的概率為P,并假設每個病人平均每天接觸到N個人。在這個假設下,不難發現,得病的人數會隨時間以指數函數形式增長。如果N與P的乘積小于1(即NP<1),傳染病會逐漸減少,如果NP>1則會爆炸式增長。這樣看來,控制疫情的途徑無疑是要把N和P的數值降下來。現在,我們閉門鎖戶,封城,限制流動和聚會,就是為了降低N的數值;緊急研發疫苗、戴口罩、洗手消毒,常鍛煉、注意營養均衡、提高免疫力,則是為了把P的數值降下來。這就是最簡單的傳染病數學建模。

用數學模型研究傳染病的歷史,最早可以追溯到十八世紀初。當時天花病毒肆虐歐洲,人們發現東方傳入的人痘接種術似乎能夠治愈這種傳染病,但接種后仍有很高的死亡率,這引起了數學家伯努利的注意,他開始思考用數學方法去描述天花的傳播以及接種的效果。伯努利將人群分成感染者與未感染者,感染者既有可能治愈變成未感染者,也會因病死亡,以此建立了數學方程。伯努利的想法雖然很直觀,但經過計算,他竟然得出了人痘接種在統計意義上仍然能讓人的壽命延長3年左右的結論。今天看來,伯努利的研究很顯然是初步的,但這種科學思維在那個人類命運完全被傳染病支配的時代顯得尤為珍貴,直到今天仍然是用數學方法研究傳染病的基本思想。

進入二十世紀,用數學模型研究傳染病的方法獲得了飛速發展,這很大程度上要歸功于SIR模型。這個模型用S代表易感者,也就是可能被傳染但還沒有感染的人;用I代表感染者,即已經被傳染但尚未死亡的人;用R代表移除者,他們被感染后痊愈或者因病死亡。SIR模型還有一個樣本人數不變的假設,即易感者、感染者和移除者的人數之和保持不變。有了這樣一個數學模型,我們需要研究三個群體隨時間的變化趨勢,第一天有了N個感染者,到了第T天會有多少人感染?因痊愈或死亡產生的移除者又會有多少?為了求出不同人群與時間的關系式,數學家引入了一組微分方程。它雖然看起來很復雜,但我們面臨的任務卻徹底梳理清楚了,就是要解出這個方程里的S、I、R與時間t的關系函數。今天我們用計算機把這些關系函數畫出來,就是通常我們在媒體上看到的疫情預測曲線。

SIR模型非常簡潔,計算出來的傳染趨勢也在歷史上得到過有效印證。然而SIR模型的缺陷也是非常明顯的,比如,本次新冠病毒肺炎存在14天的潛伏期,感染者可能在14天內完全沒有任何異常癥狀,因此簡單的三類人群劃分在這里顯然是不夠的。考慮這一因素,可以把SIR模型進一步發展為SEIR模型,能夠更精確地刻畫新冠病毒肺炎疫情的傳播趨勢。這需要在SIR模型中加入潛伏期人群,用E表示,它是SIR模型的推廣。如果用β,δ,γ,α依次表示S轉化為E,E轉化為I,I轉化為R,E轉化為R的比率,則其微分方程如下:

對于公眾而言,上述微分方程自然是生澀而又枯燥的。事實上,數學界以外的許多專家在用這些方程的時候,對其來龍去脈也未必十分清楚,盡管他們在計算機上用相關軟件模擬和預測疫情走向時多半是在求解這些方程。拋開疫情中的一線數據采集,也不必觀察計算機模擬的疫情演化曲線,事實上僅從以上四個方程來分析,我們至少可以得出以下三個結論:一是,疫情最終會過去,但結局如何要看防控效果。因為系統穩定點是0,所以疫情終將過去。但要注意,參數β,δ,γ,α的取值不同,疫情的終結曲線跌宕起伏千差萬別,它決定了結局的溫和或慘烈程度。我們的疫情防控就是要調控這些參數的大小。二是,傳染率β越高,疫情終結的就越快,結局也就越慘烈。三是降低傳染率β,這樣才能減少人類的傷亡數量。做好個人防護、增強免疫力,這是直接調控參數β,對參數δ,γ,α產生影響。

注意,上述討論始終有一個前提:易感者、感染者和移除者的人數之和保持不變。這就是疫情期間封閉管理的重要性。事實上,我們這里還假設了康復者要自帶免疫抗體,否則,傳染可能會進入循環往復的可怕狀態,這就是大家擔心疫情明年再來,盼望新冠疫苗早日問世的數學邏輯。就數學建模而言,針對不滿足以上兩個前提假設的情況,我們還可以建立更為復雜的數學模型,這里不再贅述。

事實上,通過數學模型我們可以定量評估出可能的感染人數和感染速度,從而選擇更為有效的防疫措施。比如,我們可以用數學模型評估居民在家隔離這一防疫措施的功效:任意選擇一個一千人的社區,假設其中一個人不幸感染了新冠病毒,然后開始傳播。在仿真軟件里輸入上述數學模型,可以發現,如果完全不采取隔離措施,疫情曲線會在第五天達到頂峰,感染者數量將達到五百人左右。然而,如果對八成以上的感染者采取隔離措施,疫情曲線會推遲一天達到頂峰,而感染者的數量不會超過二百人。這就是數學模型告訴我們宅在家里的重要性。

2.系統動力學提示科學防疫要做好三件事

全國范圍的疫情防控之戰自然比一個社區、一座城市的防疫戰更為艱苦卓絕,其中的主要原因是城市之間有立體的交通、交往、信息等人類活動的社交網絡,這些網絡構成病毒傳播的層級體系,病毒可以乘高鐵、飛機、輪船實現網上快速傳播。整個網絡組成一個層級化的復雜系統,病毒在其上傳播過程異常復雜,除了傳播速度難以駕馭,還有傳播過程會間或演化出混沌現象,展示出現代科技手段無法應對的莫名其妙的特征。

我們只要用疫情的科學指標給這一網絡的每個節點以及連接這些節點的關系賦值,就可以生成一個網絡動力系統。

系統動力學提示科學防疫要做好三件事:一是把城市封閉成節點。每個城市自封閉管理,只能作為一個整體同相鄰節點連接,形成城市群網絡。這是全國總體戰的必然戰略選擇;二是積極推動恐慌情緒向正能量轉化。信息和病毒傳播的耦合很有必要,不要怕披露信息引起恐慌,但要避免多種恐慌情緒疊加造成的混沌效應。恐慌情緒一旦轉化為正能量,就會跟蹤和阻斷病毒傳播;三是讓病毒在博弈中退化。一旦城市群網絡演化為博弈網絡,就會逐步訓練出阻斷病毒進化的功能。

說到這里,自然有一個問題:博弈網絡中的博弈主體是誰啊?仔細一想,還真是一個值得思考的問題,這其實是我們選擇和確定防疫的戰略戰術的首要問題。

大家知道,博弈論可以定義為:把動物利用大自然移動的癮魂,在決策人期待的空間里形成三維均衡的學術理論。博弈論的基本前提有:決策主體是理性追求自己利益的最大化;完全理性是共同知識。局中人、策略和收益是這一理論的三大基本要素。簡而言之,它是人們在平等的對局中,各自利用對方的策略變換自己的對抗策略,達到取勝目的的理論。

由此可見,科學意義的博弈只能發生在理性的人之間。人與病毒沒有博弈的基本科學框架。有人問:假如病毒擁有了人類的智慧不就可以同人類博弈了嗎?我們要思考這個問題就必須先確定一個前提性共識,那就是在一定時間內物種能夠快速適應環境變化的能力,是它們征服世界的最強大的武器。

雖然科學已經證明,細菌、病毒可以在地球各種環境下生存,但是,令人類欣慰的是,它們至今還沒能進化出神經系統,因此不可能突然進化出與人類相當的智慧。假如病毒真能夠進化出人類一樣的智慧,而人類又陷入了與智慧病毒的博弈,那該有多么可怕?!因為它們之中很多是我們生存的必需要素。可以假想,在人參與其中的多種智慧物種的博弈中,不管是哪個物種留了下來,它都不會比人類更無私。說到底,自然的平衡其實是物種力量的平衡。

3.引導和催生典型行為人的合作博弈是疫情防控的制勝法寶

既然人類不能同病毒博弈,那么,這場博弈的主體或局中人是誰?如前所述,他們一定是多個智慧主體,病毒及其傳播方式只是這場博弈的策略工具。仔細分析疫情防控阻擊戰的動力學機制,不難發現,第一個典型行為人可以定義為病毒傳播的智能主體,一些人有意或無意之中擔當了病毒傳播的角色,可以把這一主體理解為大量這方面行為的智能集合體;第二個典型行為人無疑就是抵御病毒傳播的智能集合體。這二者圍繞病毒的傳播和阻斷的對抗行為自然是一個博弈過程。

一般認為,博弈可以分為合作博弈和非合作博弈。合作博弈和非合作博弈的區別在于局中人之間是否存在具有約束力的協議,如果存在就是合作博弈,如果不存在就是非合作博弈。由于上述兩個典型行為人分別代表兩種行為的智能集合體,這一博弈在人類群體性覺醒之前,無疑是非合作博弈;一旦人類集體覺醒,這一博弈就逐步轉變為合作博弈。

合作博弈和非合作博弈的策略是完全不同的。目前,圍繞新冠肺炎疫情防控的宣傳、動員、管理、隔離、治療、信息披露等手段,正是要把這一博弈過程主動引向更加積極的合作博弈方向。

如前所述,病毒只是這場博弈的策略工具,如同贏取賭局不是銷毀賭具一樣,這場博弈的結局無論如何都不會消滅病毒。更何況物種起源的歷史告訴我們:沒有病毒,也就沒有人類。所以,人類和病毒應當尋求的是一種和平共處、相輔相成的狀態。有一個著名的科學實驗說明,沒有病毒的海水中,浮游生物停止了生長。也就是說,病毒在感染侵蝕別的微生物時,會釋放出營養物質,而這些物質恰巧是其他細菌賴以生存的必需品。病毒和被病毒感染的生物體是全球生態系統中不可缺少的重要組成部分。

其實人類能夠走到今天,病毒功不可沒。有研究認為,曾有一種古老病毒將遺傳物質插入人類祖先的基因中,這段“被迫改編”的遺傳物質是人類現代神經系統中的一部分,如果沒有它們,人類的智慧或許沒有今天這么成功。因此,在這場博弈中,我們的目的絕對不是消滅病毒,而是去科學地認識、控制和適應它。事實上,從古代歐洲的黑死病到西班牙大流感,到2003年的“非典”,再到這次新型冠狀病毒暴發,人類在幾百年間對瘟疫的應對方式其實并沒有多少本質上的改變,治療、隔離、消毒、撫慰和逃離,大體如此。隱含其中的道理就是,人類不可能消滅病毒。

毋庸諱言,我們的免疫力正伴隨著病毒的威脅在不斷發展;同樣,免疫力也正在推動病毒不斷進化。這場席卷全球的疫情提醒我們,要重新審視生命和病毒之間相輔相成的關系,既要積累與之為敵的智慧,也要擁有和平共處的策略。這樣,引導和催生典型行為人的合作博弈意識就成為疫情防控的制勝法寶。寫到這里,我仿佛聽到數學模型和博弈論鏗鏘有力的請戰誓言:給我們一把大數據吧,病毒將被封閉在嚴密的數學邏輯的鏈條之下!

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